Le succès et la reconnaissance des montres Baume s'accroît encore sous l'impulsion de la seconde génération. La maison s'illustre aux expositions nationales et universelles qui fleurissent dès la seconde moitié du XIXe siècle, à Paris (1878 et 1889), Melbourne (1880 et 1895), Zurich et Amsterdam (1883), Londres (1885 et 1890) ou Chicago (1893).
Elle obtient dix grands prix et six médailles d'or.

Les montres Baume établissent également des records de précision aux concours de chronométrie, en particulier celui de l'observatoire de Kew près de Londres. Lorsque la maison Baume se présente pour la première fois en 1885, trois de ses montres figurent parmi les sept meilleures. L'année suivante, quatre d'entre elles sont primées.

En 1892, Baume obtient la note la plus élevée du concours (91.9 points sur 100) avec un chronographe à rattrapante.

En 1892, sa montre chronomètre sans clef avec échappement à tourbillon triomphe avec un total de 91,9 points, le record absolu de toute l'histoire du concours, qui restera inégalé pendant dix ans. Jusqu'au début du XXe siècle, la marque est constamment primée pour ses montres simples ou à complications, toujours dotées des dernières avancées technologiques.

A Londres, Arthur Baume devient une personnalité de premier rang. Il sera nommé chevalier puis officier de la Légion d'honneur et décoré par deux fois par le président français Poincaré en personne. Le roi des Belges le fit Grand Membre de l'Ordre de Sa Majesté Léopold II. Il est reçu au dîner officiel donné en l'honneur du roi d'Angleterre George V et de la reine Mary.
Membre de la Royal Geographical Society, Arthur Baume est nommé président en 1922 du Bristish Horological Institute de Londres, la fédération horlogère d'Angleterre.